La Métrica de Robertson-Walker: relatividad general y cosmología

En la métrica de Minkowski tenemos que

ds² = -(cdt)² + dl²

pero si consideramos que el espacio se expande según un factor de escala a(t), tenemos que el espacio habrá crecido al cabo de un tiempo dt según ese factor, y así

ds² = -(cdt)² + a(t)² dl² ..............(*)

Vamos a considerar que nuestro espacio de tres dimensiones habituales es en realidad la "superficie" de tres dimensiones de una hipersuperficie de cuatro dimensiones.

Como paso inicial consideramos que sólo existimos en dos dimensiones y que nuestro universo es la superficie de una esfera tridimensional.

si dl fuera un diferencial de longitud en la superficie de una esfera, podríamos poner por el teorema de Pitágoras

y como

que, para expresarlo todo en función de r, se puede convertir fácilmente en

usando entonces una sola coordenada angular y r, siendo Rc el radio de la esfera ( o radio de curvatura) y _, o sea la proyección de Rc sobre el plano xy

y si añadimos otra dimensión para pasar de las dos dimensiones de dl a tres dimensiones, y así representar un dl en una "superficie" de tres dimensiones de una hiperesfera de cuatro dimensiones, tenemos

que sustituido en (*) nos da

-

Esta métrica corresponde básicamente con coordenadas polares de la "superficie tridimensional (S3)" de una hiperesfera proyectada sobre el "plano ecuatorial". Aquí Rc es el radio de nuestro universo en una cuarta dimensión, por lo que no tiene un sentido claro para nosotros, y que coincide con Rc en el ecuador del sistema de coordenadas tomado.

Por ello se suele cambiar 1/R_c² por K, factor que se define como curvatura del espacio, obteniéndose

-

que es la Métrica de Robertson-Walker, en honor a H. P. Robertson y A. G. Walker que la descubrieron en los años 30, y que es la métrica más general que describe un universo isotrópico y homogéneo. En realidad esta métrica es la misma que usó Alexander Friedmann ya en 1922 y por ello se le denomina también métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker o simplificando con sus iniciales métrica FLRW. [Brown]

Podemos apreciar que en esta ecuación no aparece la masa ni la densidad. Se trata de una expresión totalmente geométrica, en la que la clave está en la curvatura, K, que dependerá de la densidad promedio del universo, pues esta expresión es válida en la RG para un supuesto universo curvado de densidad uniforme.

Se puede analizar que pasaría para tres tipos distintos de radio del universo.

Para radio real tenemos que La curvatura K será positiva y el espacio es una hiperesfera S3 cerrada. Para radio infinito tenemos que la curvatura K es cero y la esfera se puede considerar desecha, teniendo entonces un espacio plano. Para un radio de tipo complejo resulta que la curvatura será negativa y su representación se asemeja a un paraboloide hiperbólico.

Estos universos de Friedmann se han convertido en "el modelo estándar" para las cosmologías, ya sea con constante cosmológica o no.