INTRODUCCIÓN A LA COSMOLOGÍA RELATIVISTA, geometría del universo: concepto de curvatura

Aplicando las ecuaciones de campo de la teoría de la relatividad general de Einstein para un universo homogéneo e isótropo y aplicando la geometría de Friedman para un universo en el que la atracción gravitatoria frena la expansión mientras que la constante cosmológica que representa la energía oscura la incrementa, se obtiene una relación entre densidad y curvatura k del espacio de tal forma que para Ω<1 tenemos una curvatura negativa, para Ω>1 tenemos curvatura positiva y para Ω=0 tenemos curvatura cero.
 

Se puede decir que la densidad del universo implica una curvatura intrínseca u otra. Esto es así, en teoría, porque a mayor densidad de materia-energía las ecuaciones de la relatividad general implican una curvatura del espaciotiempo inevitable, con lo que el espaciotiempo debería curvarse sobre si mismo por su propia masa.

La curvatura negativa es una geometría hiperbólica y tiene como símil en dos dimensiones al paraboloide hiperbólico o “silla de montar”.

La curvatura positiva implica una geometría esférica y tiene como símil en dos dimensiones a la superficie de una esfera.

La curvatura cero implica una geometría euclidiana y tiene como símil en dos dimensiones a un plano normal y corriente.

curvatura negativa Ω<1, k<0                           curvatura positiva Ω>1, k>0                      curvatura cero Ω=0, k=0

La ecuación de Friedmann

y la métrica de Robertson-Walker son las ecuaciones que se usan para describir matemáticamente el modelo estándar de universo desde un punto de vista de la teoría de la relatividad, con sus tres posibles curvaturas básicas (abierto k=-1, plano k=0 o cerrado k=1). (En realidad la ecuación de Friedmann sale de unir la ecuación de campo de Einstein con la métrica de Robertson-Walker [Brown: http://mathpages.com/rr/s7-01/7-01.htm] ).

Para entender mejor el concepto de curvatura positiva o negativa usaremos un teorema básico sobre triángulos que es el que indica que la suma de los ángulos internos de un triangulo cualquiera siempre es 180 grados o π radianes según se mida. Este teorema solo es verdadero en un espacio plano, es decir un espacio con curvatura cero. En un espacio con curvatura positiva como es el caso de la superficie de la esfera, si uno construye un triangulo observará que la suma interna de los ángulos del triángulo será mayor que 180 grados. por ejemplo tómenos la superficie de la esfera y coloquemos uno de los puntos del triangulo en el polo, los otros dos puntos para construir nuestro triángulo coloquémoslos sobre el ecuador de nuestra esfera, entonces lo que tendremos es que el triángulo construido sobre la superficie esférica tendrá tres ángulos rectos internos!! y la suma de estos ángulos será de 270 grados!!.

Por otro lado para el caso de una curvatura negativa se tendrá que la suma interna de los ángulos de un triangulo sobre una superficie curvada negativamente siempre serán menores que 180 grados, y para tratar de esclarecer como es una superficie con curvatura negativa, está el llamado paraboloide hiperbólico el cual a veces se le llama la silla de montar, ya que la superficie de este objeto matemático se parece mucho a una silla de montar.

De este modo la relatividad nos lleva a deducir que cuando la densidad supera a la crítica  Ω>1 tenemos un universo cerrado, para densidad del universo inferior a la crítica  Ω<1 un universo abierto, y para densidad igual a la crítica Ω=1 un universo “plano”, sin curvatura. (En realidad asociar universo “abierto” a  W<1 es un poco incorrecto, ya que existen modelos en los que la curvatura es negativa pero el universo es cerrado, pero históricamente y por sencillez de modelos se le asocia el nombre de “abiertos” a los universos con esta densidad, asociándose el nombre de “abierto” al tener expansión perpetua, y “cerrado” a expansión-contracción, sin asociación con volumen infinito o finito).   

   Pero otra cosa es la curvatura “extrínseca” del universo, pues nada impide que existan otros factores que provoquen curvatura del espaciotiempo, incluso puede que la curvatura “real” global del universo sea independiente de la densidad, pero ese es otro tema.

    Se estima un 5 % de materia bariónica (protones y neutrones) Ω_bar=0.05, un 30 % de materia oscura (calculada por la dinámica de sistemas galácticos)Ω _cdm=0.3, un 0,02 % de materia-energía en forma de radiación cósmica de fondo Ω_rad=0.0002. Entre todas estas no suman mucho más de un 0.3 y se estima una energía de vacío asociada a la constante cosmológica Ω_Λ de 0.7.

 La determinación exacta de la densidad del universo es algo que aun no se ha logrado, pero cada año aparecen nuevos estudios que nos acercan más a la verdad. Así en el año 2000 los investigadores del telescopio de microondas Boomerang estimaron que la densidad total del universo está entre Ω = 0.88 y Ω = 1.12.